Binomial Coefficient

释义 Definition

二项式系数：在二项式展开中各项前面的系数，常写作 (\binom{n}{k})，表示“从 (n) 个元素中选 (k) 个”的组合数，也等于 (\dfrac{n!}{k!(n-k)!})。在组合数学、概率论与代数中非常常见。（在一些语境中也可泛指相关的“组合系数”。）

发音 Pronunciation (IPA)

/baɪˈnoʊmiəl ˌkoʊəˈfɪʃənt/

例句 Examples

(\binom{5}{2}) is a binomial coefficient.
(\binom{5}{2}) 是一个二项式系数。

In the expansion of ((x+y)^n), the coefficient of (x^k y^{n-k}) is the binomial coefficient (\binom{n}{k}).
在 ((x+y)^n) 的展开式中，(x^k y^{n-k}) 前面的系数是二项式系数 (\binom{n}{k})。

词源 Etymology

binomial 来自拉丁语前缀 *bi-*（“二、两个”）与 nomial（与“名称/项”相关），在数学里指“含两项的多项式（如 (x+y)）”。coefficient 源自拉丁语 *co-*（“共同”）+ efficere（“产生、促成”），引申为“与某项一起起作用的数”，即“系数”。合在一起，binomial coefficient 就是“二项式展开中对应项的系数”。

相关词 Related Words

• Binomial
• Coefficient
• Combination
• Factorial
• Pascal’s Triangle
• Combinatorics
• Multinomial Coefficient
• Binomial Theorem

文学与经典著作 Literary Works

• Concrete Mathematics（Graham, Knuth, Patashnik）——在组合恒等式与计数问题中频繁使用二项式系数。
• Generatingfunctionology（Herbert S. Wilf）——在生成函数推导中常出现 (\binom{n}{k})。
• An Introduction to the Theory of Numbers（Hardy & Wright）——在数论与组合相关章节会出现二项式系数与恒等式。
• Discrete Mathematics and Its Applications（Kenneth H. Rosen）——离散数学与组合计数部分系统讲解并大量使用二项式系数。