Boundary Operator

释义 Definition

boundary operator（边界算子/边界算符）：数学中（尤其在代数拓扑、同调代数与微分几何里）把一个“链”（如单纯形、胞腔等的形式线性组合）映射到它的“边界”的线性算子，常记为 ∂（或 d）。一个核心性质是 ∂∘∂ = 0，即“边界的边界为零”。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈbaʊndəri ˈɒpəreɪtər/

例句 Examples

The boundary operator sends each triangle to the sum of its oriented edges.
边界算子把每个三角形映射为它的定向边之和。

In a chain complex, the boundary operator defines homology because applying it twice gives zero, so cycles and boundaries can be compared.
在链复形中，边界算子之所以能定义同调，是因为它连续作用两次为零，从而可以比较“圈”（cycles）与“边界”（boundaries）。

词源 Etymology

boundary 源自古法语 bordure（“边缘、镶边”）并与“边界/边缘”的概念相关；operator 来自拉丁语 operārī（“工作、操作”）。合在一起，boundary operator 字面即“执行取边界这一操作的算子”，后来成为同调理论等领域的标准术语（常用符号 ∂ 书写，称作“边界算子”或“边界映射”）。

相关词 Related Words

• Boundary
• Operator
• Chain
• Chain Complex
• Cycle
• Boundary Map
• Homology
• Coboundary Operator

文学与经典著作中的用例 Literary Works

• Allen Hatcher, Algebraic Topology（《代数拓扑》）：以 ∂ 系统定义单纯复形与胞腔复形中的边界算子，并用 ∂²=0 构造同调群。
• James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology（《代数拓扑基础》）：在链群与边界同态的框架下介绍 boundary operator/ boundary homomorphism。
• Glen E. Bredon, Topology and Geometry（《拓扑与几何》）：在同调与微分形式相关内容中反复出现边界算子的概念与记号。