Characteristic Polynomial

定义 Definition

特征多项式，是线性代数中与方阵相关的一个多项式。对于一个 n×n 的方阵 A，其特征多项式定义为 det(λI − A)，其中 λ 为变量，I 为单位矩阵。特征多项式的根即为矩阵的特征值。

发音 Pronunciation

/ˌkærəktəˈrɪstɪk ˌpɒlɪˈnoʊmiəl/

例句 Examples

Every square matrix has a characteristic polynomial that can be used to find its eigenvalues.
每个方阵都有一个特征多项式，可以用来求它的特征值。

The characteristic polynomial of the 3×3 matrix turned out to be a cubic equation with three distinct real roots, which meant the matrix was diagonalizable over the reals.
这个 3×3 矩阵的特征多项式是一个具有三个不同实根的三次方程，这意味着该矩阵在实数域上可对角化。

词源 Etymology

characteristic 源自希腊语 kharaktēristikos，意为"用于区分的标记"，由 kharaktēr（刻印、特征）演变而来。polynomial 由拉丁语前缀 **poly-**（多）和 nomial（项，源自拉丁语 nomen，意为"名称、项"）组成，字面意思为"多项的"。两词合在一起，表示能够"刻画"一个矩阵特征的多项式表达式。该术语在19世纪随着线性代数的发展而被广泛使用。

相关词汇 Related Words

• Eigenvalue
• Eigenvector
• Determinant
• Matrix
• Diagonalization
• Trace
• Cayley-Hamilton theorem
• Minimal polynomial
• Jordan normal form

文学与学术引用 Literary & Academic References

• 《Linear Algebra Done Right》（Sheldon Axler）——书中深入讨论了特征多项式与算子理论的关系，以几何直觉取代行列式方法来引入特征值。
• 《Introduction to Linear Algebra》（Gilbert Strang）——MIT 经典教材，详细讲解了特征多项式在求解特征值中的核心作用。
• 《Matrix Analysis》（Roger Horn & Charles Johnson）——矩阵分析的权威参考书，系统阐述了特征多项式的性质及其与矩阵结构的深层联系。