Hypergeometric Function

释义 Definition

超几何函数：一类重要的“特殊函数”，通常由超几何级数定义，并满足特定形式的二阶线性微分方程。最常见的是高斯超几何函数 ( ,_2F_1(a,b;c;z))。在数学物理、概率统计与工程计算中常用于表达复杂积分、级数与微分方程的解析解。（此术语也有若干推广形式，如合流超几何函数等。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌhaɪpərˌdʒiːəˈmɛtrɪk ˈfʌŋkʃən/

例句 Examples

The hypergeometric function appears in many formulas in physics.
超几何函数出现在物理学的许多公式中。

By rewriting the integral as a series, we can express the result in terms of the Gaussian hypergeometric function ( ,_2F_1 ).
通过把该积分改写成级数，我们可以用高斯超几何函数 ( ,_2F_1 ) 来表示结果。

词源 Etymology

hyper- 表示“超出、超过”，geometric 与“几何/几何级数”相关，合起来指“比几何级数更一般、更扩展的一类级数（与函数）”。历史上，超几何函数因其级数项的相邻比值呈特定的有理形式而得名，并逐渐发展为特殊函数理论的核心对象之一。

相关词 Related Words

• Beta Function
• Bessel Function
• Confluent Hypergeometric Function
• Differential Equation
• Gamma Function
• Gaussian Hypergeometric Function
• Pochhammer Symbol
• Special Function
• Hypergeometric Series

文学与经典著作 Literary Works

• Handbook of Mathematical Functions（Abramowitz & Stegun）：在“超几何函数”与相关特殊函数章节中大量使用与归纳。
• Higher Transcendental Functions（Bateman Manuscript Project）：系统整理了包括超几何函数在内的高等超越函数理论与公式。
• A Course of Modern Analysis（Whittaker & Watson）：在复分析与特殊函数相关内容中讨论并使用超几何函数。
• Special Functions（Andrews, Askey & Roy）：以统一视角讲解超几何函数及其在正交多项式等主题中的应用。