Indicator Function
释义 Definition（中文）
指示函数：在数学（尤其是集合论、测度论、概率论）中，用来“指示”某个元素是否属于某个集合的函数。对集合 (A)，其指示函数通常记作 (1_A(x)) 或 (\mathbf{1}_A(x))：
- 若 (x \in A)，则取值为 1
- 若 (x \notin A)，则取值为 0
（注：也常被称为 characteristic function；但在概率论里“characteristic function”也可能特指随机变量的特征函数 (E[e^{itX}])，需结合语境区分。）
发音 Pronunciation（IPA）
/ˈɪndɪkeɪtər ˈfʌŋkʃən/
例句 Examples
Let (f(x)) be the indicator function of the interval ([0,1]).
令 (f(x)) 为区间 ([0,1]) 的指示函数。
Using indicator functions, we can rewrite the probability of an event as an expectation: (P(A)=E[\mathbf{1}_A]).
利用指示函数，我们可以把事件的概率改写为期望：(P(A)=E[\mathbf{1}_A])。
词源 Etymology（中文）
indicator 来自动词 indicate（表示、指示）加后缀 -or（表示“……的人/物”），字面义是“用来指示的东西”；function 源自拉丁语 functio，指“执行、作用、功能”。合在一起，indicator function 就是“起指示作用的函数”，用 0/1 来表达“属于/不属于”。
相关词 Related Words
文学与经典著作 Literary Works（出现语境）
- Real and Complex Analysis — Walter Rudin（测度论与积分中常用 (\mathbf{1}_A)）
- Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications — Gerald B. Folland（指示函数在可测函数与积分构造中频繁出现）
- Measure Theory — Paul R. Halmos（用指示函数建立简单函数与积分理论）
- Probability and Measure — Patrick Billingsley（用 (\mathbf{1}_A) 将概率表达为期望等）
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