Prime Ideal

释义 Definition

素理想（prime ideal）：抽象代数中环（ring）里的一个理想 (P)，满足：如果两个元素的乘积 (ab \in P)，那么必有 (a \in P) 或 **(b \in P)**。直观上，它把“素数的不可分解性”推广到“环中的理想”。（在交换环中最常用；在非交换情形还有不同定义与细节。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌpraɪm aɪˈdiːəl/

例句 Examples

A prime ideal in a ring behaves like a prime number in the integers.
环中的素理想在性质上类似于整数中的素数。

If (P) is a prime ideal of a commutative ring (R), then the quotient ring (R/P) is an integral domain, which is why prime ideals are central in algebraic geometry.
若 (P) 是交换环 (R) 的素理想，则商环 (R/P) 是整环；因此素理想在代数几何中非常核心。

词源 Etymology

prime 源自拉丁语 primus（“第一、最初”），在数学里引申为“基本且不可再分”的概念（如 prime number）。ideal 在代数语境中来自德语 Ideal，19 世纪由库默尔（Kummer）等人用于代数数论，后由戴德金（Dedekind）系统化为“理想”这一结构；prime ideal 则表示满足“乘积落入其中必有因子落入其中”的理想，体现了“素性”的推广。

相关词 Related Words

• Ideal
• Prime
• Ring
• Maximal Ideal
• Integral Domain
• Localization
• Spectrum
• Noetherian Ring
• Quotient Ring
• Homomorphism

文学/经典著作中的出现 Literary Works

• Introduction to Commutative Algebra（Atiyah & Macdonald）— 以素理想与谱（Spec）为主线的经典入门书。
• Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry（David Eisenbud）— 大量使用 prime ideal 连接交换代数与代数几何。
• Algebra（Serge Lang）— 在环与理想章节系统讨论素理想与相关结构。
• Algebraic Geometry（Robin Hartshorne）— 通过素理想与 (\mathrm{Spec}(R)) 构建仿射簇与层论框架。
• Elements of Commutative Algebra（Bourbaki）— 以公理化方式深入处理素理想、局部化等主题。