Stirling Numbers

Definition / 定义

Stirling numbers（斯特林数）是组合数学中的一类重要数列，用来计数“把 (n) 个元素分成若干部分”的方式，常见有两种：

• 第一类斯特林数：与“排列的循环分解”相关，计数把 (n) 个元素的排列分解成 (k) 个循环的方式（有带符号与不带符号两种写法）。
• 第二类斯特林数：计数把 (n) 个不同元素划分成 (k) 个非空集合（组/块）的方式。

Pronunciation / 发音

/ˈstɝːlɪŋ ˈnʌmbɚz/

Examples / 例句

Stirling numbers help count how many ways to partition a set.
斯特林数可以用来计算把一个集合分组（划分）的方式有多少种。

Using Stirling numbers of the second kind, we can express (x^n) as a linear combination of falling factorials, which is useful in discrete mathematics.
利用第二类斯特林数，我们可以把 (x^n) 表示为下降阶乘的线性组合，这在离散数学中很有用。

Etymology / 词源

“Stirling numbers”以苏格兰数学家詹姆斯·斯特林（James Stirling, 1692–1770）命名。相关计数思想在18世纪的研究中逐渐成形，后来在组合数学与生成函数理论中被系统化并广泛使用。“numbers”表示这是一类按 (n,k) 变化的数表（数列/数阵）。

Related Words / 相关词

• Bell Numbers
• Partition
• Permutation
• Factorial
• Falling Factorial
• Generating Function
• Combinatorics
• Recurrence Relation

Literary Works / 文学与著作举例

• Concrete Mathematics（Graham, Knuth, Patashnik）：以斯特林数讲解离散数学中的计数、递推与恒等式。
• An Introduction to the Analysis of Algorithms（Sedgewick, Flajolet）：在分析递推与渐近时会涉及斯特林数与相关生成函数工具。
• Enumerative Combinatorics, Volume 1（Richard P. Stanley）：在计数理论框架中讨论与斯特林数相关的基本对象与恒等式。