Well-Ordering Theorem

Definition / 释义

良序定理：任意非空集合都可以被赋予一种“良序”（well-order）关系，使得该集合的每个非空子集都有一个最小元素。它在集合论中与选择公理等价（在常见公理体系 ZF 中，加入选择公理 ZFC 后可证明）。

Pronunciation / 发音（IPA）

/ˌwɛl ˈɔːrdərɪŋ ˈθiːərəm/

Examples / 例句

Every set can be well-ordered, according to the well-ordering theorem.
根据良序定理，每个集合都可以被良序化。

Assuming the axiom of choice, the well-ordering theorem implies that even the real numbers admit a well-order, though it is highly non-constructive.
在假设选择公理的前提下，良序定理推出：甚至实数也存在某种良序，但这种结论往往是高度“非构造性”的。

Etymology / 词源

well-ordering 由 *well-*（“良好地/完善地”）+ ordering（“排序/序”）构成，强调一种特殊的“序”：不仅能比较先后，而且要求任何非空子集都能找到最小元素；theorem 来自希腊语 theōrēma（“可被证明的命题/定理”）。该术语在近代集合论发展中固定下来，用于表达与选择公理密切相关的一条核心结论。

Related Words / 相关词汇

• Axiom Of Choice
• Well-Order
• Total Order
• Zorn’s Lemma
• Ordinal
• Transfinite Induction
• Cardinality
• Set Theory

In Literature / 文献与著作中的出现

• Ernst Zermelo, Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann（1904）：提出并证明“每个集合都可良序化”的经典论文。
• Thomas Jech, Set Theory：系统讨论良序、序数、以及良序定理与选择公理的等价性。
• Paul R. Halmos, Naive Set Theory：以较入门的方式介绍良序与相关集合论思想。
• Bertrand Russell & Alfred N. Whitehead, Principia Mathematica：在逻辑与集合论框架下涉及序与选择相关内容（不同表述体系中出现）。