一个有趣的数学题（机器学习 embedding 设计相关）

[ddddd0]

最近在学习 embedding ，想到了一个问题，如下：

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有 2 种特征：性别，物种

性别分为: 男，女
物种分为: 人，狗

设计向量表示，要求：
向量维度尽量小
向量每个位置是实数

向量点积结果要在 [0, 1]
0 代表无关，比如男人*母狗 = 0 ，女人*公狗=0
1 代表完全一样，比如男人*男人=1
0-1 之间代表有点相关，比如 女人*母狗=0.5 ，或者，男人*公狗=0.5 ，公狗*母狗=0.5 ，注意这种组合的点积一定要大于 0 小于 1 ，表示有一定相关性，具体的值大小你来定，但不能是 0 或 1

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想知道满足上述要求的向量表示的最小的维度是多少？以及具体的设计方法

[huangsijun17]

哪里来的“公”“母”？

[ddddd0]

@huangsijun17 “公”“母”是 [性别特征: 男，女] ，等价的说法

[geelaw]

就是要找四个单位向量 abcd ，使 ad 、bc 正交且 ab 、ac 、bd 、cd 都是锐角。

很明显零维不行：没有单位向量。

很明显一维不行：两个单位向量从不正交。

很明显二维不行：令 ad 为 xy 轴，则 bc 必须都和坐标轴不重合，此时 abcd 中存在钝角。

三维，考虑 a=(1,0,0), d=(0,1,0), b=(1,1,sqrt2)/2, c=(1,1,-sqrt2)/2 ，所以可以。

[chen88ijn]

需要 2bit 的信息量，所以二维向量就可以了？

[ddddd0]

@geelaw 谢谢，很完美

[ddddd0]

@chen88ijn 我试了下，应该不行，总有要求不能满足