求助一道算法题。求思路。由一个 0 和 1 组成的矩阵，求出所有 1 构成的阶梯。

[letianqiu]

初步发现 size * (steps + 1) - steps = n，如果对于每一个元素都枚举一遍，感觉复杂度非常高，而且会重复，比如 size 为 2 的可能是 size 为 3 的其中一部分。求指导

[shard]

动态规划

[menc]

这是一道回溯法的题啊，
只不过加了一个向右和向下的 step 必须一致的约束不是么

[letianqiu]

@menc 能否更加详细一点。要把所有的阶梯都找到， 感觉回溯只能找到一条最长的，而且如何避免重复呢。

[letianqiu]

@shard 能否具体一点。

[Magentaize]

行最简形矩阵

[shard]

没审题，我沙壁。请无视

[bjrjk]

@shard 一楼说的就很对很好，就是动态规划

[geelaw]

预处理每个位置开始往右往下可以有多少个 1，然后递推找出每个位置是否是某个阶梯的结束位置

[hezhe]

能否使用 dfs?找到的点标记下，但有的点有又可能会出现新的阶梯中，要分类判断下。

[hxndg]

好久没做题了。。。总感觉回溯或者搜索都必须注意时间复杂度啊，总感觉会爆栈

[Xs0ul]

我想的居然是卷积，怕不是学傻了（

[victor97]

首先，每行每列求前缀和，可以快速判断某条线段是否全为 1。
枚举所有位置，再枚举长度，向左上方找。
因为不考虑重复，所以要找仅 1 step 的阶梯即可。
总复杂度 O(n³)

[letianqiu]

@victor97 需要考虑重复。当前我能想到的就是对每一个元素枚举，从 size 和 step 分别增长，找到存在的阶梯之后，比较是不是 map 里已有的 path 的其中一部分，如果是，就说明是重复的，放弃这条 path, 否则记录下 path，扔到 map 里。感觉复杂度至少 O(n^4)

[victor97]

是 起点相同，size 相同，step 不同 算重复吗，
还是我理解错了重复的意思？

[letianqiu]

@victor97 算重复。这种情况下，只需要保留 steps 最大的。

[victor97]

我的意思其实也是重复的只算一次。
从左至右，从上到下，枚举位置，那么只要判断左上方一个台阶就够了。
如果要记录位置长度，再找到满足要求的更新坐标；如果不记录位置长度，只找一阶的数量就是答案。

[letianqiu]

@victor97 不是很明白你的意思诶。我算法水平太弱了。为什么只判断左上方一个台阶就可以。我的想法很初级，就是枚举每一个位置，往右下方走，size 从最小的 2 开始，step 从 1 开始，所有 step 找遍之后。size 增加。但是觉得这样有很多重复的。比如一个全都是 1 的 matrix，从（ 0，0 ）开始可以走到底，当从（ 1，1 ）开始走时，很多路径其实在（ 0，0 ）的时候都走过了， 属于无效的。

[victor97]

因为左上方的所有位置都是统计过的，如果发现能组成一阶台阶，要么是新出现的台阶，要么之前就已经是台阶了，只是长度 + 1，算重复。

[letianqiu]

@victor97 明白了。不过你说的求前缀和有什么用，就算知道了某列或者某行全为 1，并不能说明什么啊。还是需要枚举每一个位置。

[letianqiu]

@victor97 还有个问题，怎么区分是新台阶还是长度+1 的旧台阶。是不是和我原始的想法类似，开 map 保留所有已知的台阶构造，如果不是新台阶，那么当前位置(x, y)的上方(x-1, y)和左上方(x-1, y-1)是属于已经存在的台阶的构造的一部分，此时将原始台阶的长度+1，否则就是新台阶，加入 map

[imn1]

原矩阵把 行 中连续的 1 保留，其他置为 0，得到新矩阵 A
原矩阵把 列 中连续的 1 保留，其他置为 0，得到新矩阵 B
AB 的交集（逻辑与）就是阶梯的角

后面自己推吧

[imn1]

楼上#21 说的不严谨，但原题也没有说清楚

#21 说的是 转角
还需要排除“断层”

[letianqiu]

@imn1 如果全都是 1 的矩阵，这么操作之后，并没有任何变化啊。要求就是 i 找出所有的形如图片中的台阶。觉得#18 说得有道理啊

[imn1]

@letianqiu
实际上我就是搞不清楚你原题中阶梯的定义
例如
11000
01000
01000
011111
这种是否也算阶梯

其实最简单的方法就是
把所有符合阶梯定义的图形都写出来，然后去矩阵中找交集（平移和竖移）
这里问题就是矩阵越大，那阶梯图形就越多，而且阶梯不明确定义横向最大连续和纵向最大连续的话，阶梯的变化很多

反正思路不应该是在矩阵中逐点“画”阶梯，而是把已知定义的阶梯整体在矩阵中匹配

[mrcn]

@shard 二维 dp 感觉可以做吧
只是想不出转移方程

[letianqiu]

@imn1 你给的这个例子不属于阶梯。阶梯必须是横向和纵向的长度相等。你的方法好高深。

[letianqiu]

@mrcn 对啊。对于状态转移方程这题完全没有思路。目前觉得#18 楼的方法比较可行。#21 的方法对我来说太过于高深了。大致能理解他的意思，但是完全驾驭不了

[victor97]

@letianqiu #20
满足一阶台阶且不满足二阶台阶的就是新台阶。
另外，不需要用 map，每个位置记录以它为结尾的所有阶梯就行。

[victor97]

@letianqiu #19
前缀和是快速判断某个区间全为 1 用的。
如果不用前缀和，每次判台阶的复杂度和是 size*step ；使用前缀和优化为 step。

[victor97]

@letianqiu
使用前缀和判断是否是新台阶的复杂度是常数级别的。

[letianqiu]

@victor97 大致明白了。受益匪浅啊。非常感谢啊。只是对于“另外，不需要用 map，每个位置记录以它为结尾的所有阶梯就行。”还有点点疑问。每个位置可能是不同 size 的阶梯的结尾，如果不开个 map 保存，如何能够记录。也许我没表达清楚题目要求，题目需要记录所有 size （宽度）下所有不同 steps （高度）的阶梯。所以我就想保存一个 map，key 是 size，value 还是一个 map，这个 map 的 key 是 steps，value 是阶梯的结尾位置的坐标。一个位置不可以出现在同一个 size 下，不同的高度的阶梯里。但是可以出现在不同的 size 的阶梯中。

[letianqiu]

@victor97 再次感谢你啊。按照你的思路，我基本上实现了。就是关于前缀和那一块没懂，我是用了五个 for 循环判断台阶的。比较傻

[Xs0ul]

@imn1 #23 拿已知定义匹配倒是和我想到一块儿去了，用卷积就行（