Pell Equation

定义 Definition

佩尔方程：一种经典的丢番图方程，通常指形如 x² − Ny² = 1（其中 N 为非平方正整数）的整数方程。它往往有无穷多组整数解，并与连分数和二次无理数密切相关。（也常泛指更一般的 x² − Ny² = k 形式。）

发音 Pronunciation

/pɛl ɪˈkweɪʒən/

例句 Examples

We solved the Pell equation (x^2 - 2y^2 = 1).
我们解出了佩尔方程 (x^2 - 2y^2 = 1)。

Using continued fractions, she found the fundamental solution of a Pell equation and generated infinitely many others.
她利用连分数找到了某个佩尔方程的基本解，并由此生成了无穷多组其他解。

词源 Etymology

“Pell equation” 这一名称来自英国数学家 John Pell 的姓氏，但历史上普遍认为这是误归名：方程的系统研究与传播主要归功于费马、欧拉、拉格朗日等人，而欧拉在著述中将其与 Pell 联系起来，名称便流传至今。实际上，这类方程在更早的印度数学（如婆罗摩笈多的工作）中已出现相关思想与方法。

相关词 Related Words

• Diophantine Equation
• Continued Fraction
• Quadratic Irrational
• Fundamental Solution
• Chakravala Method
• Lagrange’s Theorem

作品例证 Notable Works

• An Introduction to the Theory of Numbers（Hardy & Wright）——在数论章节中用佩尔方程展示连分数与整数解的联系。
• A Course in Number Theory and Cryptography（Neal Koblitz）——以佩尔方程作为典型例子讲解数论方法与算法思想。
• Unsolved Problems in Number Theory（Richard K. Guy）——涉及与佩尔型方程相关的若干问题与变体背景。
• Disquisitiones Arithmeticae（Gauss）——讨论二次型与二次无理相关主题，为理解佩尔方程的理论框架提供重要背景。