Maximum Modulus Principle

定义 Definition

最大模原理（复分析中的重要定理）：若函数 (f) 在一个区域内解析（holomorphic）且非常数，那么 (|f(z)|) 在该区域内部不可能取得最大值；(|f(z)|) 的最大值只能出现在边界上（在适当的条件下，如区域有边界且 (f) 在闭包上连续）。

发音 Pronunciation

/ˈmæksɪməm ˈmɑːdjʊləs ˈprɪnsəpəl/

例句 Examples

The maximum modulus principle says a non-constant holomorphic function cannot reach its maximum inside a domain.
最大模原理说明：非常数的解析函数不可能在区域内部达到其模的最大值。

Using the maximum modulus principle, we can show that if an entire function is bounded, then it must be constant.
利用最大模原理可以证明：如果一个整函数有界，那么它必为常数。

词源 Etymology

该术语由三部分构成：maximum（最大）、modulus（模，指复数的绝对值 (|z|) 或 (|f(z)|)）、principle（原理/定理）。其中 modulus 源自拉丁语 modulus（“尺度、度量”），在数学语境中引申为“大小/绝对值”的概念。

相关词 Related Words

• Holomorphic
• Analytic
• Modulus
• Complex Analysis
• Liouville’s Theorem
• Open Mapping Theorem
• Cauchy Integral Formula
• Maximum Principle

文学与名著中的出现 Literary Works

• Complex Analysis（Lars Ahlfors）：以核心定理之一的形式系统讲解最大模原理及其推论。
• Functions of One Complex Variable I（John B. Conway）：用于证明开映射定理、刘维尔定理等。
• Complex Analysis（Elias M. Stein & Rami Shakarchi）：在解析函数性质与边界行为章节中出现。
• Real and Complex Analysis（Walter Rudin）：作为复分析基本工具，常用于严谨证明与应用。