Rising Factorial

释义 Definition

rising factorial（上升阶乘/升阶乘）：一种常见的组合数学与特殊函数记号，表示从某个数开始、连续相乘若干项的乘积：
[ x^{\overline{n}} = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1), \quad n\ge 0 ]
也常写作 **((x)_n)**（在许多数学文献中称为 Pochhammer symbol，但需注意不同领域的记号可能略有差异）。

发音 Pronunciation

/ˈraɪzɪŋ ˈfæktɔːriəl/

例句 Examples

The rising factorial (x^{\overline{3}}) equals (x(x+1)(x+2)).
上升阶乘 (x^{\overline{3}}) 等于 (x(x+1)(x+2))。

In combinatorics, rising factorials often simplify formulas involving binomial coefficients and can be expanded using Stirling numbers.
在组合数学中，上升阶乘常用于简化涉及二项式系数的公式，并且可以借助斯特林数展开。

词源 Etymology

rising 表示“递增的/上升的”，指乘积中的因子按 (x, x+1, x+2,\dots) 逐步增加；factorial 与“阶乘”相关，强调这是一个“连续相乘”的结构。该术语在组合数学与特殊函数中广泛使用，用来与 falling factorial（下降阶乘） 区分：下降阶乘是 (x(x-1)(x-2)\cdots) 逐步递减。

相关词 Related Words

• Falling Factorial
• Factorial
• Pochhammer Symbol
• Binomial Coefficient
• Stirling Numbers
• Gamma Function
• Hypergeometric Function

文献与名著出处 Literary / Notable Works

• Concrete Mathematics（Graham, Knuth, Patashnik）：在离散数学与求和公式中频繁使用上升/下降阶乘记号。
• Enumerative Combinatorics（Richard P. Stanley）：组合计数推导中常用上升阶乘与相关恒等式。
• A Course of Modern Analysis（Whittaker & Watson）：在伽马函数、超几何函数等主题中涉及与上升阶乘等价的 Pochhammer 记号。